P4072 [SDOI2016]征途

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闲扯

一段时间没做，斜率优化又快忘完了。。

题面

P4072 [SDOI2016]征途

Solution

先推式子。

因为要乘上一个 $m^2$ ，所以我们要求的其实是：

由于 $sum^2,m$ 都是定值，所以我们只需要最小化 $\sum_{i=1}^mv_i^2$ 即可。

继续推式子。设 $dp_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数，被分成 $j$ 段的最小值。

发现存在 $sum_i\cdot sum_j$ 这种同时包含 $i,j$ 的项，考虑上斜率优化。

将 $\min$ 拆开。

可以看做是一条斜率为 $2\cdot sum_i$ 的直线，我们要使纵截距最小。

可以发现斜率是递增的，而且因为维护最小，我们只需要维护一个下凸壳即可。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x%mod;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res%mod;
}
const int MAXN = 3e3+5;
ll n,m,sum[MAXN],dp[MAXN][MAXN],q[MAXN],l,r; 
#define x(i) sum[i]
#define y(i,j) (dp[i][j]+sum[i]*sum[i])
inl double slope(int x,int y,int i){return 1.*(y(x,i)-y(y,i))/(x(x)-x(y));}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),read(m);
	for(ri i=1;i<=n;++i) read(sum[i]),sum[i]+=sum[i-1],dp[i][1]=sum[i]*sum[i];
	for(ri j=2;j<=m;++j){
		l=r=1;
		for(ri i=1;i<=n;++i){
			while(l<r&&slope(q[l],q[l+1],j-1)<=2*sum[i]) ++l;
			ri k=q[l];
			dp[i][j]=dp[k][j-1]+(sum[i]-sum[k])*(sum[i]-sum[k]);
			while(l<r&&slope(q[r-1],q[r],j-1)>=slope(q[r-1],i,j-1)) --r;
			q[++r]=i;
		}
	}
	print(m*dp[n][m]-sum[n]*sum[n]);
	return 0;
}

总结

其实 $dp$ 数组是可以滚掉一维的，但是没必要，所以没写。反正都是套路，主要还是要把式子推出来。